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求证tAnx+2Cot2x=Cotx

证明 F(x)=arctan x+arccot x F(0)=arctan0+arccot0=π/2 F’(x)=1/[√(1+x^2)]-1/[√(1+x^2)]=0 即F(x)≡π/2

诱导公式 tan(π/2-x)=cotx cot2x=1/tan2x=1/[2tanx/(1-tan²x)] =(1-tan²x)/(2tanx) =(1-1/cot²x)/(2/cotx) =[(cot²x-1)/cot²x]/(2/cotx) =(cot²x-1)/(2cotx)

1+(cotx)^2 =(cscx)^2

∫cotxdx=∫cosx/sinxdx=∫(1/sinx)d(sinx)=ln(sinx)+C

cotx-1=2cotx+1, cotx=-2 cosx/sinx=cotx=-2 cosx=-2sinx 因为(cosx)^2+(sinx)^2=1 所以(sinx)^2=1/5 (cosx)^2=4/5 cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=3/5 因为cosx/sinx=-2

∫(cotx)^6dx =∫(csc^2x-1)cot^4xdx =∫csc^2xcot^4xdx-∫cot^4xdx =-∫cot^4xdcotx-∫(csc^2x-1)cot^2xdx =-cot^5x/5-∫csc^2xcot^2xdx-∫cot^2xdx =-cot^5x/5+cot^3x/3-cotx+x+C

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