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证明 CsC2x+Cot2x=Cotx

左边=cos^2x/sin^2x -cos^2x =cos^2x/sin^2 (1-sin^2x) =cot^2x cos^2x

∵1+tanx+cotx=1+tanx+1/tanx=(tanx+tan^2x+1)/tanx ∴(1+tanx+cotx)/(1+tan^2x+tanx)=1/tanx ∵cotx/(1+tan^2x)=cotx/(tanxcotx+tan^2x)=cotx/(tanx(cotx+tanx)) ∴原式=1/tanx-cot/tanx(tanx+cotx)=1/(tanx+cotx)

cot2x=1/tan2x=(1-tan²x)/2tanx 2cot2x=(1-tan²x)/tanx=1/tanx-tanx=cotx-tanx tanx+2cot2x=cotx 证毕

∫(cotx)^6dx =∫(csc^2x-1)cot^4xdx =∫csc^2xcot^4xdx-∫cot^4xdx =-∫cot^4xdcotx-∫(csc^2x-1)cot^2xdx =-cot^5x/5-∫csc^2xcot^2xdx-∫cot^2xdx =-cot^5x/5+cot^3x/3-cotx+x+C

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